Γ΄ Λυκείου Κύματα Συμβολή

 Σειρά ασκήσεων    ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ

 

1)  Δυο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π₁ και Π₂ , δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού κύματα ίδιου πλάτους  A₁=A₂=A=0,5cm,  και συχνότητας f=5Hz. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ_δ=0,4m/s. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού και απέχει από τις πηγές Π₁ και Π₂ αποστάσεις r₁=28cm και r₂=44cm αντίστοιχα. 

Ζητείτε να υπολογίσετε:

Α) ποια η διαφορά φάσης μεταξύ των δυο κυμάτων την ίδια χρονική στιγμή στο Σ;

Β) πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του φελλού;

Γ) πόση είναι η απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή t=2,25s;

Δ) κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος Π₁Π₂ βρίσκεται ένα δεύτερο κομμάτι φελλού. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη απόσταση του φελλού απ το μέσο του ευθυγράμμου  τμήματος  Π₁Π₂, ώστε ο φελλός να παραμένει διαρκώς ακίνητος.

Απάντηση

Α) φ₁-φ₂=4πrad  Β) Α΄=10^-2m  Γ) y = -0,01m  Δ) x_min=+, - 2cm

2)  Δυο σύγχρονες σημειακές πηγές αρμονικών κυμάτων Π₁ και Π₂ βρίσκονται στην οριζόντια επιφάνεια ομογενούς ελαστικού μέσου σε απόσταση (Π₁Π₂)= d=20cm  μεταξύ τους. Τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζουν να εκτελούν κατακόρυφη Α.Α.Τ. χωρίς αρχική φάση με πλάτος Α=5cm  και περίοδο Τ=0,1s ,δημιουργώντας κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=1m/s στην επιφάνεια του υγρού. Ένα υλικό σημείο M της επιφάνειας του μέσου απέχει από τις δυο πήγες  αποστάσεις r₁=50cm  και r₂=30cm αντίστοιχα.

Α) να μελετήσετε την ταλάντωση του σημείου M και να κάνετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης της ταλάντωσης του σε συνάρτηση με το χρόνο

Β) να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του πλάτους της ταλάντωσης του σημείου M σε συνάρτηση με το χρόνο

Γ) πόσα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος ανάμεσα στις δυο πηγές εκτελούν ταλάντωση με μέγιστο πλάτος;

Δ) να υπολογίσετε την επιτάχυνση ταλάντωσης του σημείου Σ τις χρονικές στιγμές t₁=0,2s,  t₂=0,s4 και  t₃ =0,525s

Ε) να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου M μετά τη συμβολή κάποια χρονική στιγμή που η απομάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του είναι y₁=0,05m

Να θεωρήσετε ότι όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια μάζα

Απάντηση

Α)   για  χρόνο t μεταξύ του 0s και 0,3s  y_M=0  για για  χρόνο t μεταξύ του 0,3s και 0,5s,  y_M =0, 05ημ2π (10t-3),  για χρόνο t μεγαλύτερο 0,5s,  y_M =0, 1ημ2π (10t-4)  Γ)  3  Δ) 0, 0,  -40π²m/s²  E) μέτρο της ταχύτητας υ=π√3  m/s

3) Δύο σύγχρονες πηγές, Π₁ και Π₂,  που απέχουν μεταξύ τους απόσταση 8m, εκπέμπουν εγκάρσια αρμονικά κύματα σε επιφάνεια υγρού με ταχύτητα διάδοσης 20m/s. Η εξίσωση ταλάντωσης των πηγών είναι y=0,4 ημ(20πt), (μονάδες στο S.I.) Το υλικό σημείο Α απέχει από την πηγή Π₁ απόσταση x₁= 4m  και από τη πηγή Π₂ απόσταση x₂> x₁. Τα δύο κύματα φτάνουν από τις πηγές τους στο σημείο A  με χρονική καθυστέρηση Δt=0,2s.

 α) Να διερευνήσετε το αποτέλεσμα της συμβολής στο σημείο Α. 

β) Να υπολογίσετε την απόσταση x₂. 

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της μετατόπισης y του Α από το σημείο ισορροπίας του, ως συνάρτηση του χρόνου t, για το διάστημα: 0 ≤ t ≤ 0,6s. 

δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό των υλικών σημείων που εκτελούν ταλάντωση

με πλάτος 0,8m και βρίσκονται μεταξύ των πηγών πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα

Π₁Π₂. 

ε)  Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου Α τη χρονική στιγμή t=0,45s. 

στ) Σε αυτό το ερώτημα θεωρήστε ότι η πηγή Π₁ εκτελεί ταλάντωση σύμφωνα με την εξίσωση y_π1 =0,4ημ(20πt+π)  και η πηγή Π₂ σύμφωνα με την εξίσωση y_π2=0,4ημ(20πt).

Να εξηγήσετε το αποτέλεσμα της συμβολής στο ίδιο υλικό σημείο Α.

Απάντηση

α) πλήρη ενίσχυση  β) x₂=8m  γ)  δ) 7  ε) υ=16πm/s στ) τα κύματα φθάνουν με αντίθετη φάση και έχουμε πλήρη απόσβεση

4)  Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π₁ και Π₂, μηδενικής αρχικής φάσης, βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Οι δύο πηγές παράγουν σε ελαστικό μέσο εγκάρσια επιφανειακά κύματα συχνότητας f=10 Ηz, ίδιου πλάτους Α=0,2 m και ίδιου μήκους κύματος λ=0,6 m. 

α) Να αποδείξετε ότι εξαιτίας της συμβολής των δύο κυμάτων όλα τα σημεία που βρίσκονται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος, το οποίο και να υπολογίσετε.

β) Ένα υλικό σημείο Κ απέχει από το σημείο Α απόσταση x₁=1,2 m και από το σημείο Β απόσταση x₂=1 m. Να υπολογίσετε ποια χρονική στιγμή ξεκινά η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο Κ.

γ) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό. 

δ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του αφού συμβάλλουν τα δύο κύματα στο σημείο αυτό. 

Θεωρήστε ότι το πλάτος των επιφανειακών κυμάτων παραμένει σταθερό κατά τη διάδοσή τους στο ελαστικό μέσο. 

Απάντηση: α) Αmax=0,4 m β) t=0,2 s γ) Α ́=0,2 m δ) y=0,2ημ2π(10t- 6 11 ) (S.I.) για t μεγαλύτερο από 0,2s

5) Δύο σύγχρονες πηγές δημιουργούν αρμονικά επιφανειακά κύματα σε ελαστικό μέσο. Τα δύο κύματα  είναι εγκάρσια, έχουν ίδιο πλάτος Α=0,1 m, ίδιο μήκος κύματος λ=0,5 m και διαδίδονται στο ελαστικό μέσο με ταχύτητα υ=1 m/s.

 Να υπολογίσετε: 

α) το πλάτος τους ταλάντωσης τους σημείου Κ του μέσου που απέχει από τη μια πηγή απόσταση x₁=1,25 m και από την άλλη πηγή απόσταση x2=3 m. Να χαρακτηρίσετε το είδος τους συμβολής (ενισχυτική ή ακυρωτική) που συμβαίνει στο σημείο αυτό. 

β) το πλάτος τους ταλάντωσης τους υλικού σημείου Λ του μέσου που απέχει από τη μια πηγή απόσταση x₁ ́=1 m και από την άλλη πηγή απόσταση x₂ ́=2 m. Να χαρακτηρίσετε το είδος τους συμβολής (ενισχυτική ή ακυρωτική) που συμβαίνει στο σημείο αυτό. 

γ) την απομάκρυνση του υλικού σημείου Λ του μέσου από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή  t₁=2,5 s, αν οι δύο πηγές έχουν εξίσωση ταλάντωσης τους μορφής y=Αημωt. 

Θεωρήστε ότι το πλάτος των επιφανειακών κυμάτων παραμένει σταθερό κατά τη διάδοσή τους στο ελαστικό μέσο.

Απάντηση: α) Α ́_Κ=0 m ακυρωτική β) Α ́_Λ=0,2 m ενισχυτική γ) μηδέν

6) Αρμονικά κύματα δημιουργούνται στην επιφάνεια ενός υγρού από δύο σύγχρονες πηγές Π₁ και Π₂. Οι πηγές εκτελούν κατακόρυφες αρμονικές ταλαντώσεις και η εξίσωση ταλάντωσης κάθε πηγής είναι y=0,08ημ4πt (S.I.). Σημείο Κ που βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού απέχει από την πηγή Π₁ απόσταση x₁=90 cm και από την πηγή Π₂ απόσταση x₂=150 cm. To σημείο Κ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t₁=1,5 s εξαιτίας του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π₁.

α) Να διερευνήσετε αν στο σημείο Κ συμβαίνει ενισχυτική ή ακυρωτική συμβολή των δύο κυμάτων. 

β) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σημείο Κ από τη στιγμή που έχουν φτάσει και τα δύο κύματα στο σημείο αυτό. 

γ) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο μετά την έναρξη της συμβολής στο σημείο αυτό. 

Θεωρήστε ότι το πλάτος των επιφανειακών κυμάτων κατά τη διάδοση τους στο υγρό παραμένει σταθερό. 

Απάντηση: α) ενισχυτική συμβολή β) Α ́Κ=0,16 m γ) υ=0,64πσυν2π(2t-4) (S.I.) για t μεγαλύτερο από 2,5s