Γ΄ Λυκείου Μηχανικά Κύματα

 Σειρά ασκήσεων στα κύματα

1) Κατά μήκος ενός σχοινιού, το οποίο έχει τη διεύθυνση του άξονα x'x, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η αρχή Ο του άξονα ταυτίζεται με το αριστερό άκρο του σχοινιού, το οποίο αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση τη χρονική στιγμή t=0 με εξίσωση y=Αημ5πt (το y είναι σε cm και το t σε s). Στο διάγραμμα του σχήματος δίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος που διαδίδεται κατά μήκος του σχοινιού, κατά τη χρονική στιγμή t₀ .

 

α. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή t₀. 

β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

γ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

δ Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων δύο σημείων του σχοινιού, στα οποία το κύμα φτάνει με διαφορά χρόνου Δt=1 s.

Απ.: α) t₀=0,8 s, β) υ=0,5 m/s, γ) y=2ημπ(5t –x/10), (τα x και y είναι σε cm και το t σε s), δ)Δφ=5πrad

2) Σε γραμμικό ελαστικό μέσο που βρίσκεται στη διεύθυνση του άξονα xΌx διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα και τη χρονική στιγμή t=0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός υλικού σημείου Κ (x=+1 m) μάζας m=0,02 kg σε συνάρτηση με το χρόνο. 

 

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=5 s. 

δ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ τη χρονική στιγμή t₂=4,25 s.

Θεωρήστε για τις πράξεις: π²=10.

Απ.: α) υ=0,5 m/s β) y=0,2ημ2π (0,5t - x) (S.I.) γ) … δ) U=2 10^-3 J

3) Μία πηγή αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στην αρχή Ο του θετικού ημιάξονα Οx και τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,04ημ4πt (S.I.). Το αρμονικό κύμα που δημιουργείται διαδίδεται σε ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Οx. Δύο υλικά σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου που βρίσκονται στις θέσεις x₁=+1,2 m και x₂=+2 m αντίστοιχα, φτάνουν το καθένα για πρώτη φορά σε θέση μέγιστης δυναμικής ενέργειας με χρονική δια­φορά Δt=2 s.

α) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.

β) Να υπολογίσετε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες τα σημεία Κ και Λ φτάνουν στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης τους για πρώτη φορά.

γ) Να υπολογίσετε πόσα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου έχουν μέγιστη κινητική ενέργεια τη χρονική στιγμή t=3 s. 

δ) Να υπολογίσετε πόσα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου έχουν δυναμική ενέργεια ίση με U_max/4 τη χρονική στιγμή που το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση d=1 m από το σημείο Ο.

[Απ.: α) y=0,04ημ2π (2t - 5x) (S.I.) β) t_K=3,125 s, t_Λ=5,125 s

γ) 13 σημεία (μαζί με την πηγή) δ) 20 σημεία]

4) Μία πηγή αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα x’Ox και δημιουργεί εγκάρσια κύματα σε ελαστικό μέσο το οποίο συμπίπτει με τη διεύθυνση του άξονα x’Ox. Το κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα υ. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με τη θέση x των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t₁=2 s. H μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου μάζας m =2 10^-3 kg, ισούται με 256 10^-4 J.

 

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης της πηγής καθώς και την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων.

β) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με τη θέση x των σημείων του ελαστικού μέσου (φ=f(x)), τη χρονική στιγμή t₂=3 s. 

δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ (x_κ=+4 m) σε συνάρτηση με το χρόνο (φ=f(t)).

Απ.: α) ω=8π rad/s, υ=2 m/s β) y=0,2ημ2π (4t - 2x) (S.I.) γ) … δ) …

5) Σε χορδή μεγάλου μήκους διαδίδεται αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στο αριστερό άκρο Ο (x=0) της χορδής και εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση της μορφής y=0,1ημωt (S.Ι.). Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Μ της χορδής που βρίσκεται στη θέση x₁=2 m σε συνάρτηση με το χρόνο.

α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

β) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=4 s. 

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Κ της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο, αν το σημείο αυτό απέχει από το άκρο Ο της χορδής απόσταση x₂=4m.

δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με την απόσταση x από το σημείο Ο, τη χρονική στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται το υλικό σημείο Κ της χορδής.

Απ.: α) y=0,1ημ2π(0,25t – 0,5x) (S.I.) β) … γ) … δ) …

6) Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α=0,2 m και μήκους κύματος λ=0,1 m διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ=0,25 m/s. Υλικό σημείο Κ του ελαστικού μέσου βρίσκεται σε απόσταση x₁=0,55 m από την πηγή του κύματος και τη χρονική στιγμή t₁=2,85 s, πέντε σημεία του μέσου μεταξύ της πηγής Ο και του σημείου Κ βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με την πηγή. Τη χρονική στιγμή t = 0 η πηγή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα.

α) Να εξετάσετε αν το σημείο Κ βρίσκεται σε συμφωνία ή σε αντίθεση φάσης με την πηγή.

β) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή t₁.

γ) Αν μεταβάλλουμε τη συχνότητα της πηγής, πόση πρέπει να είναι η μεταβολή της συχνότητας, ώστε το σημείο Κ να είναι το 22o κατά σειρά σημείο που βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την πηγή;

Απ.: α) αντίθεση φάσης β) y_K=-0, 1√3 m γ) Δf=+7, 5 Hz