Γ΄ Λυκείου Στερεό σώμα Ταλάντωση Νόμος Στροφικής κίνησης

Ομογενής δίσκος μάζας  m και ακτίνας r=0,2m είναι προσαρμοσμένο σε ελατήριο σταθεράς k και μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο κλίσης φ=30⁰. Απομακρύνουμε τον κύλινδρο από τη θέση ισορροπίας στη διεύθυνση του ελατηρίου και στη συνέχεια τον αφήνουμε ελεύθερο.

Α) Να αποδείξετε ότι ο άξονας του κυλίνδρου θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D=2k/3.

Ο δίσκος έχει στον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, ανιχνευτή ηχητικών κυμάτων, ο οποίος δέχεται τα ηχητικά κύματα που παράγει ηχητική πηγή που βρίσκεται σε ακλόνητο σημείο στην ευθεία ταλάντωσης του κέντρου μάζας του δίσκου. Ο ανιχνευτής καταγράφει την πραγματική συχνότητα που εκπέμπει η πηγή κάθε π/10s. Το διάστημα που διανύει το κέντρο μάζας του δίσκου μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών της ταχύτητας του κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης είναι 1m. Να γράψετε: 

Β) την εξίσωση απομάκρυνσης για την Α.Α.Τ. του κέντρου μάζας του δίσκου, αν γνωρίζετε ότι τη στιγμή που ξεκίνησε η ταλάντωση το ελατήριο είχε τη μέγιστη επιμήκυνση του, θεωρώντας τη φορά κίνησης προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ως θετική.

Αν η βαρυτική δυναμική ενέργεια του κέντρου μάζας του δίσκου ως προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, στο σημείο Β που αποσπάται ο δίσκος από το ελατήριο, είναι 16 φορές η μέγιστη κινητική ενέργεια του δίσκου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του, να υπολογίσετε,

Γ) την απόσταση του κέντρου μάζας του δίσκου από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου στο σημείο που αποσπάται ο δίσκος από το ελατήριο.

Τη στιγμή που αποσπάται ο δίσκος από το ελατήριο βρίσκεται στην ακραία θέση +Α της ΑΑΤ του. Αν στη συνέχεια ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο,  να βρείτε, 

Δ) την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.

Όταν φθάνει ο δίσκος στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου εισέρχεται σε τεταρτοκύκλιο ακτίνας R=3m στο οποίο συνεχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Ε) Να υπολογίσετε την οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που δέχεται ο δίσκος στο ανώτατο  σημείο του τεταρτοκυκλίου, σημείο Γ της τροχιάς του (βλέπε σχήμα)

Όταν ο δίσκος βρίσκεται στο ανώτατο  σημείο του τεταρτοκυκλίου χάνει την επαφή του με το δάπεδο και κινείται κατακόρυφα.

ΣΤ) Να υπολογίσετε το μέγιστο ύψος από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου στο οποίο θα φθάσει το κέντρο μάζας του κυλίνδρου.

Να θεωρήσετε ότι η σταθερά του ελατηρίου είναι k=600Ν/m, η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι Ι=mr²/2. Η ακτίνα του δίσκου να θεωρηθεί αμελητέα σε σχέση με την ακτίνα του τεταρτοκυκλίου, η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ_ηχ=340m/s  και  g=10m/s²

 

^{Για να δείτε τη λύση πατήστε εδώ.}

Γ΄ Λυκείου Μηχανική ρευστών

Σε ένα εξοχικό αγρόκτημα, υπάρχει γεώτρηση που τροφοδοτεί μια δεξαμενή, ο πυθμένας της οποίας βρίσκεται σε ύψος h₁=1,25m από το έδαφος. Ο υδροφόρος ορίζοντας βρίσκεται σε βάθος h₂=4m από την επιφάνεια του εδάφους. Για την άντληση του νερού υπάρχει ηλεκτρική αντλία και ο σωλήνας άντλησης και προώθησης του νερού από την αντλία έως τη δεξαμενή έχει σταθερή διατομή Α₁=4cm². Στο πυθμένα της δεξαμενής υπάρχει μικρός σωλήνας εμβαδού Α₂=10cm². Το νερό στη δεξαμενή βρίσκεται συνεχώς σε σταθερό ύψος h₃. Το βεληνεκές του νερού είναι x=2m. Το ύψος του κατακόρυφου σωλήνα μετά την αντλία φθάνει σε ύψος Η=4,5m, και ο σωλήνας εκροής του νερού στη δεξαμενή φθάνει μέχρι την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s², η ατμοσφαιρική πίεση είναι P_atm=10⁵Ν/m² και είναι η ίδια στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού και στο πηγάδι (υδροφόρο ορίζοντα), και η πυκνότητα του νερού είναι ρ=10³Kg/m³.

Να υπολογίσετε:

Α) τη ταχύτητα εκροής υ₀ του νερού από τη δεξαμενή

Β)  τη πίεση στο σημείο λίγο πριν την αντλία και αμέσως μετά (σημεία Δ και Β)

Γ) την ισχύ της αντλίας

Κάποια στιγμή η αντλία σταματά να λειτουργεί

Δ) Να κάνετε το διάγραμμα του ύψους h του νερού στη δεξαμενή σε συνάρτηση με το βεληνεκές x

  

Για να δείτε τη λύση πατήστε εδώ.