Γ΄Λυκείου Κύματα-Στάσιμα

Στάσιμο κύμα

Σε μια οριζόντια, ευθύγραμμη και ελαστική γέφυρα μήκους  L  που είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της, εξαιτίας μιας σεισμικής δόνησης, διαδίδονται κατά το μήκος της δυο αντίθετα εγκάρσια αρμονικά  κύματα, με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα. Σαν  αποτέλεσμα έχουμε τη δημιουργία ενός στάσιμου κύματος. Τα υλικά σημεία της γέφυρας εκτελούν ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση και στο μέσον της γέφυρας (που θεωρείται στη θέση x=0) εμφανίζεται κοιλία του στάσιμου κύματος, η εξίσωση του οποίου είναι:

y=Aσυν2πx/1800ημ6t   (SI) με  - L/2<x<L/2

Το διάγραμμα παριστάνει το πλάτος Α΄ της ταλάντωσης των σημείων της γέφυρας σε σχέση με τη συντεταγμένη θέση τους x.

α) Πόσο είναι το μήκος  L της γέφυρας.

β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις δυο σημείων Σ₁ και Σ₂ της γέφυρας, εκατέρωθεν του κέντρου της, που έχουν μέγιστο πλάτος επιτάχυνσης.

γ) Πόσο πρέπει να είναι το πλάτος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα ώστε η επιτάχυνση των σημείων Σ₁ και Σ₂ να έχει μέγιστο μέτρο ίσο με την επιτάχυνση βαρύτητας g

δ) Θεωρείστε ότι σε όλο το μήκος της γέφυρας βρίσκονται σταματημένα αυτοκίνητα. Δείξτε ότι, αν το πλάτος των κυμάτων είναι αυτό που βρήκατε πιο πριν, η κάθετη αντίδραση του δαπέδου στους τροχούς των αυτοκινήτων που βρίσκονται στις θέσεις Σ₁ και Σ₂ θα μηδενίζονται στιγμιαία ανά  χρονικά διαστήματα ίσα με την περίοδο των κυμάτων. Αγνοήστε την οποιαδήποτε συμμετοχή του συστήματος ανάρτησης των αυτοκινήτων στην ταλάντωσή τους. 

ε) Τα υλικά σημεία της γέφυρας μπορούν να ταλαντώνονται, χωρίς αυτή να κοπεί , με πλάτος ταλάντωσης μικρότερο από 30cm . Αν για κάποιο λόγο το πλάτος των αντίθετα κινούμενων κατά μήκος της γέφυρας αρμονικών κυμάτων γίνει 15cm και η συχνότητα τους διπλασιαστεί, σε πόσα σημεία θα κοπεί η γέφυρα;

Δίνεται: g=9,9m/s²

 

 

Για να δείτε τη λύση πατήστε εδώ.