Σειρά ασκήσεων σε μηχανικές Ταλαντώσεις

Ταλαντώσεις

1) Ένα υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση, με πλάτος Α=6cm και μέγιστη ταχύτητα υ_max=30cm/s

 

α) Να υπολογίσετε την περίοδο  T της ταλάντωσης

β) Να υπολογίσετε τη φάση φ, την απομάκρυνση x, την ταχύτητα υ και την επιτάχυνση  α του υλικού σημείου τις χρονικές στιγμές t=0s και t =π/6s.

γ) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις, x(t), υ(t), και  α(t)  σε βαθμολογημένους άξονες

Απάντηση

α) Τ=2π/5s

β) φ=0, x=0, υ=30cm/s,  α=0,

φ=5π/6rad,   x=3cm,   υ=- 25,95cm/s,     α=- 75cm/s²

2)  Ένα σώμα μάζας m που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δέχεται συνισταμένη δύναμη της οποίας η αλγεβρική τιμή μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Τη χρονική στιγμή  t₁=0,1πs  η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος είναι Κ₁=2J.

    

α) Να υπολογίσετε τη μάζα m του σώματος.

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο

γ) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή που βρίσκεται στη θέση x₂=+Α/2

δ) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη στιγμή  t=0 μέχρι τη στιγμή t₂ που περνά από τη θέση x₂ για πρώτη φορά.

ε) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας τη χρονική στιγμή t₂

Απάντηση

α) m=1Kg

β) x =0,2ημ10t

γ) K₂=1,5J

δ) W=-0,5J

ε) Δp/Δt= -10Kg.m/s² ,  ΔK/Δt= -10√3J/s

3) Ένα σώμα μάζας m=2Kg  εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης:

x=Αημ (ωt+π/3)   (SI)

Τη χρονική στιγμή t₁= 1,5s η επιτάχυνση ισούται με α₁=8√3m/s² και η φάση της ταλάντωσης ισούται με φ₁=10π/3rad

α) Να βρεθεί η γωνιακή συχνότητα και το πλάτος της ταλάντωσης

β) Να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια για την απευθείας μετάβαση του σώματος από τη θέσηx₁ = - 0,2m στη θέση x₂= +0,2√3m

γ) Να βρείτε τη ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t=5/3s και τη ταχύτητα του σώματος όταν διέρχεται από τη θέση x=-0,2m κινούμενο προς τη θέση ισορροπίας

δ) Ποιες τιμές παίρνει η δύναμη επαναφοράς όταν το μέτρο της ταχύτητας του σώματος είναι 0,4πm/s

Απάντηση

α) ω=2πrad/s

Α=0,4m

β)Δt=1/4s

γ)υ=0,4πm/s,   υ=0,4π√3m/s

δ) ΣF=16√3Ν

4) Ένα υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και κάποια στιγμή έχει απομάκρυνση x=1cm,  ταχύτητα υ=2√3 cm/s  και επιτάχυνση α=- 4cm/s²

α) Να υπολογίσετε τη περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης

β) Αν η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φ₀=π/3rad  να υπολογίσετε ποια χρονική στιγμή  που το κινητό περνά από τη θέση x= 1cm για δεύτερη φορά.

Απάντηση

α) Α=2cm

Τ=πs

β) t =11Τ/12s

5) Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=6cm και τη χρονική στιγμή t=0s το κινητό έχει απομάκρυνση x=3cm και ταχύτητα υ=-15√3 cm/s. Να βρείτε τις χρονικές  εξισώσεις  της απομάκρυνσης, και της ταχύτητας και σχεδιάσετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις

Απάντηση

x=0,06ημ (5t + 5π/6)

υ=0,3συν(5τ +5π/6)

6) Υλικό σημείο μάζας  m=2^.10^-3 Kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=5cm και συχνότητα f=50Hz

α) Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια του κινητού

β) Να υπολογίσετε τη δυναμική και τη κινητική ενέργεια του κινητού όταν η απομάκρυνση είναι χ=0,03m

γ) Ν βρείτε τη θέση του κινητού στην οποία η κινητική ενέργεια είναι ίση με  τη δυναμική 

δ) Αν η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι μηδέν , ποιες χρονικές στιγμές οι δυο ενέργειες είναι ίσες;  

Απάντηση

α)  Ε_ολ=0,25J

β) U=0,09J

Κ=0,16J

γ) x= -,+0,035m

δ) t=T/8, 3T/8, 5T/8,  7T/8,…..

7) Ένα υλικό σημείο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση διέρχεται με τη ίδια ταχύτητα από δυο σημεία Α κα Β της τροχιάς του. Τα δυο σημεία απέχουν απόσταση d=20cm. Η μετάβαση από το Α στο Β διαρκεί t₁=1s και στη συνέχεια η επιστροφή στο Β διαρκεί t₂=2s

 

α) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης

β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης

Απάντηση

α) Τ=6s

β) Α=20cm

8) Η εξίσωση της επιτάχυνσης ενός σώματος μάζας m=5Kg που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι:

 α= -10ημ (20t + π/6) στο  (SI)

α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης και τη μέγιστη ταχύτητα του σώματος

β)Να γράψετε  τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο

γ) Να υπολογίσετε τη δύναμη επαναφοράς στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης

δ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και τη κινητική ενέργεια  του σώματος τη χρονική στιγμή t=π/60s

Απάντηση

α)  Α=25^.10^-3 ,    υ=0,5

β)   x=25^.10^-3ημ(20t + π/6)

υ=0,5συν(20t + π/6)

γ)ΣF= -50 Ν , ΣF=50Ν

δ) U=0,625J,   K=0

9) Σώμα μάζας m=4Kg  εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτος Α=5cm.  Η μέγιστη  τιμή του μέτρου της δύναμης επαναφοράς είναι 20Ν

α) να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς και τη περίοδο της ταλάντωσης

β) να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης αν τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας. Να εξετάσετε δυο περιπτώσεις, αν για t =0 είναι υ μεγαλύτερο του μηδενός ή μικρότερο του μηδενός.

Απάντηση

α) D=400N/m, T=π/5s

β) x=0,05ημ10t  (SI)   υ=0,5συν10t     (SI)    α= - 5ημ10t   (SI)  ή

 x=0,05ημ (10t +π) (SI)    υ=0,5συν (10t+π)   (SI)     α= - 5ημ (10t +π) (SI)

10) Σώμα μάζας m=2Kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταξύ δυο ακραίων θέσεων Α και Β με συχνότητα f=5Hz. Τη χρονική στιγμή t=0s το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας Ο με ταχύτητα μέτρου υ=2πm/s και κατευθύνεται προς τη θέση Β της μέγιστης αρνητικής απομάκρυνσης

α) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης και της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο σώμα 

β) να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά για πρώτη φορά από το μέσο Μ της απόστασης ΟΒ.

γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος όταν αυτό διέρχεται από τα σημεία Ο, Μ, και Β

Απάντηση

α) x=0,2ημ (10π+π), F=- 400ημ(10π +π)

β) t=1/60s

γ)  Για το σημείο Ο,  Δp/Δt=0 Kgm/s² , για το σημείο Μ, Δp/Δt=400 Kgm/s², για το σημείο Β Δp/Δt=800 Kgm/s²