Γ΄ Λυκείου Σειρά ασκήσεων στα μηχανικά κύματα

1)  Το άκρο Ο μιας τεντωμένης χορδής ταλαντώνεται αρμονικά με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση y=Αημωt. Η πηγή έχει συχνότητα ταλάντωσης 5Hz και ταλαντώνεται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης της χορδής με πλάτος A=4cm.Το δημιουργούμενο  κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα xx΄. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ δυο σημείων της χορδής που βρίσκονται σε αντίθεση φάσης είναι 0,1m. Να υπολογίσετε:

Α) το μήκος κύματος του παραγόμενου κύματος

Β) μετά από πόσο χρόνο θα αρχίσει να ταλαντώνεται ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται σε απόσταση 1,25m από το Ο

Γ) την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του ενός σημείου Κ της χορδής το οποίο απέχει 1,35m από το σημείο Ο τη χρονική στιγμή t=2s

Δ) τη συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η φάση του σημείου Κ με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε για χρόνο  t μεταξύ του μηδενός και του 3ο s. 

Απάντηση

Α)  λ=0,2m  Β) t=1,25s  Γ) y=0,04m  Δ) φ=10πt-13,5π  t μικρότερο ή ίσο του 1,35s

2)  Από μια προχοίδα που περιέχει 5g νερού αφήνεται να πέσουν σταγόνες με σταθερό ρυθμό, 1 σταγόνα κάθε 2s. Η κάθε σταγόνα έχει μάζα 0,2g, και η προχοίδα είναι τοποθετημένη κατακόρυφα με το κάτω άκρο της να απέχει από την ήρεμη επιφάνεια μιας πισίνας h=5m. Οι σταγόνες δημιουργούν στη επιφάνεια του της πισίνας κύμα πλάτους Α=1cm το οποίο διαδίδεται με ταχύτητα υ=0,4m/s. Ζητείτε: 

Α)  να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο η πρώτη σταγόνα πέφτει στην επιφάνεια του νερού

Β) να  υπολογίσετε το μήκος κύματος του παραγόμενου επιφανειακού κύματος

Γ) να γράψετε την εξίσωση του παραγόμενου επιφανειακού κύματος αν θεωρήσουμε t=0 τη στιγμή που η πρώτη σταγόνα συναντά το νερό και ότι η πηγή του κύματος ξεκινά την ταλάντωση της προς τα αρνητικά του κατακόρυφου άξονα yy΄

Δ) να υπολογίσετε πόσο μακριά έχει φτάσει ο κυματισμός όταν η τελευταία σταγόνα φτάνει στο νερό

Ε) να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης ενός μικρού κομματιού φελλού τη χρονική στιγμή t=51,25s. Ο φελλός απέχει απόσταση x=20m από το σημείο που πέφτουν οι σταγόνες.

Να θεωρήσετε ότι το πλάτος του δημιουργούμενου κύματος παραμένει σταθερό και ότι  g=10m/s²

Απάντηση

Α) =1  Β) λ=0,8m  Γ) y=10^-2ημ2π(t/2-x/0,8+1/2)  (SI)  Δ) 19,2m  Ε) υ=π√2 10^-2/2m/s

3)  Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος, το οποίο διαδίδεται σε ένα ελαστικό μέσο κατά μήκος του άξονα x'x, είναι:

y=0,1ημ2π (2t –x/4)    (τα x και y είναι σε m και το t σε s)

α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

β. Πόσο απέχουν δύο σημεία Α και Β του ελαστικού μέσου που βρίσκονται πάνω στον άξονα και την ίδια χρονική στιγμή οι ταλαντώσεις τους παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ=7π/2 rad

γ. Πόση είναι η μεταβολή της φάσης της ταλάντωσης του σημείου Α σε χρονικό διάστημα Δt=2,5 s;

δ. Αν το σημείο Α βρίσκεται στη θέση x_A=5 m, ποια σημεία του άξονα ανάμεσα στα σημεία Α και Β βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους τη χρονική στιγμή t=2 s;

Να θεωρήσετε ότι το σημείο Α βρίσκεται πλησιέστερα προς την πηγή Ο του κύματος από το σημείο Β.

Απάντηση

 α) υ=8 m/s, β) Δx=7 m γ) Δφ=10π rad δ) x₁=6 m, x₂=8 m, x₃=10 m

4) Σε ένα σημείο Π ελαστικού μέσου βρίσκεται πηγή, η οποία τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να παράγει αρμονικά εγκάρσια κύματα συχνότητας f=10 Ηz. Σε ένα στιγμιότυπο του κύματος, η απόσταση ενός "όρους" από τη μεθεπόμενη "κοιλάδα" είναι L=90 cm. Να υπολογιστούν:

α. Το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

β. Η απόσταση από την πηγή Π, στην οποία θα έχει φτάσει το κύμα τη χρονική στιγμή t=10s, καθώς και ο αριθμός των κυματικών εικόνων που θα έχουν δημιουργηθεί.

γ. Η συχνότητα και το μήκος κύματος του κύματος, αν κατά τη διάδοση του συναντήσει ένα δεύτερο διαφορετικό ελαστικό μέσο όπου η ταχύτητα διάδοσης του είναι υ'=5 m/s.

Απάντηση

α) λ=0,6m, υ=6 m/s, β) x=60 m, k=100, γ) f=10 Ηz, λ’=0,5 m

5) Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ=40 m/s, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'x, ο οποίος ταυτίζεται με το γραμμικό μέσο. Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δύο σημείων Α και Β του μέσου είναι φ_Α=15π rad και
φ_Β=45π rad, αντίστοιχα. Το σημείο Β βρίσκεται σε απόσταση d=5 m από τη θέση x=0 όπου βρίσκεται η πηγή Ο του κύματος και είναι το τρίτο κατά σειρά σημείο του ελαστικού μέσου που έχει μόνιμα αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα από την πηγή Ο.

α. Να εξετάσετε, αν το κύμα διαδίδεται από το σημείο Α προς το σημείο Β ή αντίστροφα.

β. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του κύματος.

γ. Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων Α και Β.

δ. Όταν το σημείο Β διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο κατά τη θετική φορά, ποια είναι η απομάκρυνση και η φορά κίνησης του σημείου Α;

Απάντηση

α) Από το Β προς το Α, β) f=20 Ηz, γ)Δx=30 m, δ) Στη θέση ισορροπίας, κινούμενο κατά τη θετική φορά

6) Ένα ημιτονοειδές κύμα συχνότητας f=50 Hz και πλάτους Α=0,2 m διαδίδεται με ταχύτητα υ=36 m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, το οποίο έχει τη διεύθυνση του άξονα x'x, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής, η οποία βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα είναι y=Αημ2π/Τ. Θεωρούμε δύο σημεία Α και Β του μέσου.

α. Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα σημεία, Α και Β, αν την ίδια χρονική στιγμή οι φάσεις της ταλάντωσης των σημείων αυτών διαφέρουν κατά Δφ=60°;

β. Πόση είναι η μεταβολή της φάσης της ταλάντωσης του σημείου Α μέσα σε χρόνο Δt=10^-2 s.

γ. Πόση είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης μιας στοιχειώδους μάζας Δm=2 10^-3 kg του μέσου, η οποία βρίσκεται στο σημείο Α;

Δίνεται: π²=10 .

Απάντηση

α) Δx=12 cm, β)  Δφ_Α=180°, γ)  U_(max)= 4 J