Γ΄ Λυκείου Μηχανικά Κύματα

Σειρά ασκήσεων στα κύματα

1) Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο έχει τη διεύθυνση του άξονα x'x. Μια πηγή παραγωγής ημιτονοειδών κυμάτων, η οποία βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα x'x, αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=10ημωt (το y είναι σε cm και το t σε s). Τo παραγόμενο κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Πάνω στον άξονα βρίσκονται δύο σημεία Α και Β του ελαστικού μέσου, τα οποία απέχουν από την αρχή Ο αποστάσεις x_A=20 cm και x_B=30 cm, αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t=0,2 s το κύμα φτάνει στο σημείο Α και η φάση της ταλάντωσης της πηγής είναι φ=8π rad.

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα ταλάντωσης της πηγής. 

β. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος του κύματος. 

γ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

δ. Να προσδιορίσετε τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, τα οποία βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με την πηγή του κύματος.

Απάντηση

α) f=20 Hz, β) λ=5 cm, γ) y=10ημ2π(20t –x/5) (τα x και y είναι σε cm και το tσε s), δ) x=20 cm, x=25 cm, x=30 cm

2) Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται με ταχύτητα μέτρου υ=2m/s σε γραμμικό ελαστικό μέσο προς τη θετική φορά του άξονα xΟx΄. Η ταλάντωση της πηγής του κύματος που βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα ξεκινά  τη στιγμή  t=0 με θετική ταχύτητα. Υλικό σημείο Μ του μέσου εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση

y=0, 02ημ (10πt/3-12π)   (SI)

Α) να υπολογίσετε τη περίοδο και το μήκος κύματος

Β) να βρείτε την απόσταση του Μ από τη πηγή και να γράψετε την εξίσωση του κύματος

Γ) να βρείτε  τη ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου Ν που απέχει από τη πηγή x_Ν=9m τη στιγμή που το Μ έχει ολοκληρώσει

α) μια πλήρη ταλάντωση

β) δυο πλήρεις ταλαντώσεις

Δ) να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή   t= 1,65s και να βρείτε τον αριθμό των σημείων που έχουν απομάκρυνση  y=+0,01m.

Απάντηση

Α)  Τ=0,6s    λ=1,2m  Β) 7,2m  Γ)  α) υ=0  β) υ=-0,2π/3m/s  Δ) 

3)  Σε ελαστική χορδή που ταυτίζεται με τον άξονα xΟx΄ διαδίδεται αρμονικό κύμα κατά τη θετική φορά. Το σημείο Ο (x=0) εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση με απομάκρυνση που δίνεται από τη σχέση

 y=0,4ημ (2πt) (SI)

Το κύμα διαδίδεται με ταχύτητα υ=2m/s

Α) να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ και να γράψετε την εξίσωση του κύματος

Β) να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο για το σημείο Γ (x₁=2m) και να την παραστήσετε γραφικά

Γ) να υπολογίσετε την απόλυτη  τιμή της απομάκρυνσης του σημείου Γ τη χρονική στιγμή που η κινητική του είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσής του K=3U_T

Δ) να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₂=3s και να βρείτε το πλήθος των σημείων που εκείνη τη χρονική στιγμή έχουν μηδενική επιτάχυνση

Απάντηση

A) λ=2m y=0,4ημ2π (t- x/2) (SI) Β) y=0,4ημ2π (t- 1)   (SI) Γ) Απόλυτο y=0,2m Δ) 7 σημεία

4) Θεωρούμε σημειακή πηγή Ο παραγωγής κυμάτων της οποίας η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση y=2ημ(2πt +φ)  (t σε s, y σε cm). Η πηγή Ο βρίσκεται στη θέση x=0 και αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=Τ/4, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης της. Τη χρονική στιγμή t=0 η πηγή βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας της.  Όταν η πηγή περνάει από τη θέση ισορροπίας της για τρίτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t=0, το κύμα που παράγεται από αυτή έχει μετατοπιστεί κατά d=25cm

Α) να βρείτε τη γωνία φ

Β) να γράψετε την εξίσωση του κύματος που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα xx΄ του ελαστικού μέσου, με αρχή Ο τη θέση της πηγής και προς τη θετική φορά

Γ) να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν την ταχύτητα της ταλάντωσης και την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα μόριο του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση x=10cm

Δ) να παραστήσετε γραφικά τη φάση φ της ταλάντωσης για τα διάφορα σημεία του ημιάξονα Οx σε συνάρτηση με την απόσταση του x από την πηγή Ο τη χρονική στιγμή t=5s

Ε) να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική t=4,5s

Απάντηση

Α) π/2rad  Β) y=Αημ2π( t+1/4-x/20)  (t σε s, x,y σε cm)  Γ) υ=4πσυν2π(t -1/4)  (t σε  s,  υ σε cm/s)  α= -8π²ημ2π(t-1/4)  ( t σε  s, α σε cm/s²) 

5) Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος, το οποίο διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που έχει τη διεύθυνση του άξονα x'x, είναι:

y=0,04ημπ (200t - 8x)    (τα x και y είναι σε m και το t σε s).

Να υπολογίσετε: 

α. Τη συχνότητα και το μήκος κύματος του κύματος.

β. Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

γ. Τη διαφορά φάσης μεταξύ δυο σημείων του ελαστικού μέσου, τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δx=0,5m.

δ. Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου.

Απάντηση

 α) f=100 Ηz, λ=0,25 m β) υ=25 m/s γ) Δφ=4π rad δ) υ_max=8π m/s

6) Πηγή αρμονικών κυμάτων συχνότητας f=4 Ηz βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα x'Ox και δημιουργεί εγκάρσιο κύμα με μήκος κύματος λ=0,5 m, που διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο, στη διεύθυνση του άξονα x'Ox. Η εξίσωση του κύματος είναι της μορφής y=Aημ2π(t/T-x/λ) (S.I.).

α) Να υπολογίσετε τη φάση της ταλάντωσης:

i) του υλικού σημείου Κ (x₁=+0, 5 m) τη χρονική στιγμή t₁=2 s,

ii) του υλικού σημείου Μ (x₂=+ 6 m) τη χρονική στιγμή t₂=2, 5 s.

Να ερμηνεύσετε το πρόσημο της φάσης της ταλάντωσης του σημείου Μ.

β) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της φάσης της ταλάντωσης του σημείου Κ στη χρονική διάρκεια Δt=t₂-t₁=0,5 s.

γ) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των υλικών σημείων Κ και Λ (x₃=+0,75 m) την ίδια χρονική στιγμή.

δ) Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή που διέρχεται το ένα από τα υλικά σημεία Κ ή Λ από τη θέση ισορροπίας του θα διέλθει και το άλλο από τη δική του θέση ισορροπίας;

ε) Αν κάποια χρονική στιγμή το υλικό σημείο Κ βρίσκεται στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, σε ποια θέση βρίσκεται το υλικό σημείο Λ την ίδια χρονική στιγμή;

Απάντηση

α) φ_Κ=14π rad, φ_Μ=-4π rad β) Δφ=4π rad γ) Δφ=π rad δ) Δt=0,125 s ε) y_Λ= -Α