Γ΄Λυκείου Μηχανική ρευστών - Φθίνουσα Ταλάντωση

Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και περιέχει νερό πυκνότητας ρ=10³Kg/m³ μέχρι ύψος H. Το δοχείο είναι ενωμένο στο σημείο του Β με τη μια άκρη οριζοντίου και μη ελαστικού νήματος η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο στο σημείο Γ. Παράλληλα με το οριζόντιο δάπεδο υπάρχει λείο οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο βρίσκεται ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=625π²Ν/m το ένα άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε σταθερό ακλόνητο σημείο K ενώ στο άλλο άκρο του είναι δεμένο σώμα Σ₁ μάζας m. Σε σημείο Δ του πλευρικού τοιχώματος του δοχείου που απέχει απόσταση h=0,2m από τον πυθμένα του δοχείου, υπάρχει μικρή οπή εμβαδού Α=10^-3m² που αρχικά είναι κλειστή. Εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ κατά d=0,8m προς τη θετική κατεύθυνση από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Ανοίγουμε την οπή στο σημείο Δ τη χρονική στιγμή t₀=0s, οπότε αρχίζει να εκρέει το νερό με ταχύτητα υ=5m/s και, ταυτόχρονα αφήνουμε το σώμα Σ₁ να κινηθεί. Το σώμα Σ₁ κατά την κίνηση του δέχεται δύναμη F= - bυ. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η πρώτη στοιχειώδης ποσότητα Δm του νερού φθάνει στο οριζόντιο δάπεδο, το σώμα Σ₁ έχει εκτελέσει τρεις πλήρεις ταλαντώσεις και βρίσκεται σε απόσταση l=0,7m από την αρχική θέση εκτροπής του σώματος. Με κατάλληλο μηχανισμό, η στάθμη του νερού στο δοχείο διατηρείται σταθερή. Ζητείτε να υπολογίσετε:

Α) τη παροχή της οπής και τη μάζα  του σώματος Σ₁

Β) τη σταθερά Λ

Γ) τη συνολική πίεση στον πυθμένα του δοχείου

Δ) την τάση Τ του νήματος ώστε το δοχείο να ισορροπεί.

Να θεωρήσετε το εμβαδόν τομής της οπής στο σημείο Δ, αμελητέο σε σχέση με το εμβαδόν διατομής του δοχείου, η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s², η ατμοσφαιρική πίεση είναι p_atm=10⁵Ν/m² και ότι το νήμα είναι συνεχώς τεντωμένο.

Για να δείτε τη λύση πατήστε εδώ.