Γ΄ Λυκείου Στερεό σώμα

Γύρω από ομογενή κύλινδρο ο οποίος έχει μάζα Μ=5Kg και ακτίνα R=0,2m, τυλίγουμε αβαρές και μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους. Τοποθετούμε τον κύλινδρο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στη μια άκρη του νήματος A, ασκούμε σταθερή κατακόρυφη δύναμη F=15Ν με φορά προς τα πάνω, έτσι ώστε ο κύλινδρος να αρχίσει να κινείται πάνω σε αυτό. Κατά την κίνηση του στο μη λείο επίπεδο, ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, διατηρεί τον άξονά του οριζόντιο χωρίς να αλλάζει προσανατολισμό, και εμφανίζει τριβή με το δάπεδο που έχει συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ=2/3. Θεωρούμε ότι το αβαρές νήμα ξετυλίγεται χωρίς να γλιστρά κατά την κίνηση του κυλίνδρου και είναι συνεχώς κατακόρυφο. Ζητείτε να υπολογίσετε: 

Α) την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου τη στιγμή που το άκρο του νήματος A έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά 4m, και

Β) ποια είναι η μέγιστη τιμή της δύναμης που μπορούμε να ασκήσουμε στην άκρη του νήματος έτσι ώστε ο κύλινδρος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο μη λείο επίπεδο.

Τη στιγμή που το άκρο του νήματος μετατοπίστηκε κατά 4m, ο κύλινδρος εισέρχεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, συνέχεια του προηγούμενου. Ο άξονας περιστροφής του κυλίνδρου εξακολουθεί να διατηρεί τον προσανατολισμό του. 

Αν η δύναμη F που ασκούμε στο άκρο του νήματος είναι ίδια με την αρχική, να υπολογίσετε μετά από χρόνο Δt=2s από τη στιγμή t=t₁ που εισήλθε στο λείο επίπεδο:

Γ) την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου, και

Δ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου.

Καθώς ο κύλινδρος κινείται στο λείο επίπεδο, κάποια χρονική στιγμή t=t₂, μεταβάλλουμε την τιμή της κατακόρυφης δύναμης F με τέτοιο τρόπο, ώστε να αυξάνεται κατά 1Ν κάθε δευτερόλεπτο. Ζητείτε να:

Ε) κάνετε την ποιοτική γραφική παράσταση της γωνιακής επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο από τη χρονική στιγμή t=t₂, μέχρι τη χρονική στιγμή t=t₃, που ο κύλινδρος χάνει την επαφή του με το επίπεδο.

Δίνεται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον οριζόντιο άξονα συμμετρίας, Ι_cm= MR²/2 και  η επιτάχυνση της βαρύτητας, g=10m/s².

 Για να δείτε τη λύση πατήστε εδώ.