Γ΄ Λυκείου Μηχανική ρευστών

 Σε ένα μεγάλο κατακόρυφο σωλήνα ηρεμούν δύο υγρά. Το κάτω, είναι νερό με πυκνότητα ρ₁=10³kg/m³, το πάνω είναι λάδι με πυκνότητα ρ₂, ενώ τα ύψη είναι h₂=1m και h₁=1m αντίστοιχα. Μια τάπα  κλείνει μια οπή Κ του δοχείου εμβαδού Α=0,6cm², η οποία βρίσκεται σε ύψος h=0,3m από την βάση του σωλήνα.

Το παρακάτω διάγραμμα παριστάνει τη μεταβολή της πίεσης σε συνάρτηση με το βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια του λαδιού.

Α)  Να υπολογίσετε την πυκνότητα ρ₂ του λαδιού και την πίεση στο πυθμένα του δοχείου

Β) Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται η τάπα από τα τοιχώματα του σωλήνα.  Να θεωρήσετε αμελητέο το βάρος της τάπας, καθώς και ότι το εμβαδόν της είναι πολύ μικρό, ώστε να μπορούμε να δεχτούμε ότι σε όλα τα σημεία της, επικρατεί η ίδια πίεση.

Γ) Σε κάποια στιγμή βγάζουμε την τάπα. Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής. Να  θεωρήσετε ότι η διατομή του σωλήνα, είναι πολύ μεγαλύτερη από τη διατομή της οπής, και ότι μέσα σε ελάχιστο χρόνο αποκαθίσταται μια μόνιμη και στρωτή ροή.

Δ) Να υπολογίσετε την μέγιστη οριζόντια μετατόπιση των στοιχειωδών μαζών του νερού που εξέρχονται  από τη οπή.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Παρατήρηση. Η ταχύτητα εκροής του νερού δεν θα παραμένει σταθερή, αλλά θα μειώνεται καθώς θα κατεβαίνει η στάθμη του λαδιού, οπότε γενικά, η ροή δεν θα είναι μόνιμη. Η ζητούμενη ταχύτητα εκροής, είναι αυτή που θα αποκατασταθεί μέσα σε ελάχιστο χρόνο, μόλις απομακρυνθεί η τάπα και την οποία για ένα μικρό διάστημα μπορούμε να θεωρήσουμε σταθερή. Η μέγιστη  οριζόντια μετατόπιση των στοιχειωδών μαζών του νερού που εξέρχονται  από τη οπή είναι τη στιγμή που βγάζουμε την τάπα.

Για να δείτε τη λύση πατήστε εδώ.