Γ΄ Λυκείου Σειρά ασκήσεων Φθίνουσες ταλαντώσεις

1) Ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ=0,1s και πλάτος που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=Α₀e^-Λt () με Ν=0,1,2……)  Να υπολογίσετε :

Α) το πηλίκο των πλατών στο τέλος της πρώτης και της δεύτερης περιόδου του σώματος (Α₁/Α₂)

Β) το πλάτος της δέκατης (10) ταλάντωσης αν το πλάτος στο τέλος της ένατης ταλάντωσης (9)  είναι ίσο με 0,03m

Γ) τη χρονική διάρκεια από τη στιγμή που ξεκίνησε η φθίνουσα ταλάντωση μέχρι τη στιγμή που η ενέργεια της έχει μειωθεί στο μισό της αρχικής .

Δ) το ποσοστό επί τοις εκατό της μείωσης του αρχικού πλάτους τη χρονική στιγμή t₁=0,5ln2s

Δίνεται: Λ=4s^-1

Να θεωρήσετε  e^0,4=1,5  και   ln2=0,7

Απάντηση

Α) 1,5  ,  Β)  0,02m,   Γ) 87,5^.10^-3s,  Δ) Π% =75%

2) Το πλάτος ταλάντωσης μιας φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο και υποδιπλασιάζεται σε χρόνο Δt=5s

Α) ποιά είναι η τιμή της σταθερά Λ της ταλάντωσης;

Β) Πόσος χρόνος χρειάζεται ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να γίνει οκτώ φορές μικρότερο;

Δίνεται: ln2=0,693 

Απάντηση

Α) Λ=0,139s^-1, Β) Δt΄=15s

3) Το πλάτος μιας φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Το πλάτος τη χρονική στιγμήt=0 είναι Α₀=8cm και τη χρονική στιγμή t₁=20s είναι Α₁=2cm

Α) Να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς Λ της ταλάντωσης

Β) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α₀/2

Γ) Να βρείτε το πλάτος Α₃ της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t₃=30s

 

Δίνεται: ln2=0,693

Απάντηση

Α) Λ=69,3^.10^-3s^-1,  Β) t₂=10s,  Γ) A₃=1cm

4) Σε μία εξαναγκασμένη ταλάντωση η επιτάχυνση του σώματος δίνεται από την εξίσωση α= - 20ημ(10t). Η δύναμη αντίστασης είναι  της μορφής F_αντ= - bυ, 

Δίνεται: f_δ=f_{συντονισμού}

Α) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος

Β) Να γράψετε την εξωτερική δύναμη σε συνάρτηση με το χρόνο

Γ) Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο η ενέργεια του συστήματος μετατρέπεται σε θερμότητα τη χρονική στιγμή t=81π/40s, και όταν το σώμα περνά από τη θέση x=0,1m.

Δ) Να υπολογίσετε την ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα ανά περίοδο για να διατηρείται το πλάτος σταθερό. 

Δίνεται: συν²Α=(1+συν2Α)/2  και  b=2Kg/s

Απάντηση

Α) υ=2συν(10t)  Β) F_εξ=4συν(10t) Γ) απόλυτος ρυθμός dQ/dt=4J/s, dQ/dt=6J/s Δ) W=0,8πJ

5) Ένα σύστημα m-k, εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση της οποίας το πλάτος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση

Ακ=64e^-t.ln2 (cm)

Η περίοδος της ταλάντωσης είναι 0,4s και η απομάκρυνση μεταβάλλεται συνημιτονικά με το χρόνο

Α) Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης της απομάκρυνσης με το χρόνο κατά τη διάρκεια της 6^ης ταλάντωσης (μετά από 5 περιόδους)

Β) Να υπολογίσετε τις μέγιστες τιμές των μεγεθών της απομάκρυνσης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης κατά τη διάρκεια της 6^ης ταλάντωσης

Γ) να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή t=4,05s

Δ) Να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς Λ για να σβήνει η ταλάντωση στον τετραπλάσιο χρόνο

Να θεωρήσετε ότι το πλάτος ταλάντωσης διατηρείτε σταθερό κατά τη διάρκεια μιας περιόδου με τιμή ίση με αυτή που έχει στην έναρξη της αντίστοιχης περιόδου

Απάντηση

Α) x=16συν5πt (cm) με t μεταξύ 5Τ και 6Τ Β)  x_max=Α₅=0,16m,    α_max=4π²m/s²   Γ) x=4√2cm   Δ) Λ΄=ln2/4

 

6) Ένα σύστημα m-k, εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο T υπό την επίδραση δύναμης αντίστασης F= - bυ. Αν το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια μιας περιόδου και την 1^η περίοδο είναι Α₀  να υπολογίσετε:

Α) την ενέργεια που μεταφέρεται από το σύστημα στο περιβάλλον κατά τη διάρκεια της 1^ης περιόδου, αν  T=2s,  b=4kg/s και  A₀=8cm.

Β) τη σχέση που περιγράφει τη ενέργεια που γίνεται θερμότητα λόγω τριβών στην τυχαία περίοδο.

Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση με το χρόνο περιγράφεται από τη σχέση

x=A_κημωt και ότι το πλάτος ταλάντωσης διατηρείτε σταθερό κατά τη διάρκεια μιας περιόδου με τιμή ίση με αυτή που έχει στην έναρξη της αντίστοιχης περιόδου.

Δίνεται: π²=10

Υπόδειξη για το Β. Να υπολογίσετε αρχικά το στοιχειώδες έργο της δύναμης αντίστασης

Απάντηση

Α) W=0,256J  Β)  Wκ=2bπ²Α_κ²/Τ²

7) Ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις υπό την επίδραση δύναμης αντίστασης που περιγράφεται από τη σχέση F= - bυ. Η απομάκρυνση κατά την 1^η περίοδο δίνεται από τη σχέση

x=16συν24πt (cm)

Μετά από 30 ταλαντώσεις το πλάτος γίνεται 4cm. Αν η μάζα του ταλαντούμενου σώματος είναι M=3/ln2Kg  και Λ=b/2m να υπολογίσετε:

Α) τη περίοδο της 31^ης ταλάντωσης (μετά από 30 ταλαντώσεις)

Β) τη τιμή της σταθεράς b

Γ) τη συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η δύναμη αντίστασης με το χρόνο κατά τη διάρκεια της 31^ης ταλάντωσης

Δ) το κλάσμα της αρχικής ενέργειας που μεταφέρθηκε από το ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον από την 31^η έως την 61^η περίοδο

Να θεωρήσετε ότι το πλάτος ταλάντωσης διατηρείτε σταθερό κατά τη διάρκεια μιας περιόδου με τιμή ίση με αυτή που έχει στην έναρξη της αντίστοιχης περιόδου

Απάντηση

Α) Τ=1/12s  Β) b=4,8Kgs^-1   Γ) x=4,608πημ24πt  Δ) ΔΕ/Ε_{αρχ ταλ}=15/256