Γ΄ Λυκείου Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Σειρά ασκήσεων Εξαναγκασμένη ταλάντωση

1) Ένα σύστημα m-k, εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο T υπό την επίδραση δύναμης αντίστασης F= - bυ. Αν το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια μιας περιόδου και την 1^η περίοδο είναι Α₀  να υπολογίσετε:

Α) την ενέργεια που μεταφέρεται από το σύστημα στο περιβάλλον κατά τη διάρκεια της 1^ης περιόδου, αν  T=2s,  b=4kg/s και  A₀=8cm.

Β) τη σχέση που περιγράφει τη ενέργεια που γίνεται θερμότητα λόγω τριβών στην τυχαία περίοδο.

Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση με το χρόνο περιγράφεται από τη σχέση

x=A_κημωt και ότι το πλάτος ταλάντωσης διατηρείτε σταθερό κατά τη διάρκεια μιας περιόδου με τιμή ίση με αυτή που έχει στην έναρξη της αντίστοιχης περιόδου.

Δίνεται: π²=10

Υπόδειξη για το Β. Να υπολογίσετε αρχικά το στοιχειώδες έργο της δύναμης αντίστασης

Απάντηση

Α) W=0,256J  Β)  Wκ=2bπ²Α_κ²/Τ²

2) Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=22π²Ν/m έχει στα άκρα του στερεωμένη μάζα m=0,25Kg. Το σύστημα δέχεται την επίδραση περιοδικής εξωτερικής δύναμης η οποία μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση F_εξ=F₀συν40πt, οπότε αποκαθίσταται αμείωτη αρμονική ταλάντωση πλάτους 4cm.

Α) Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα του συστήματος μάζας – ελατηρίου

Β) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις x=f(t), υ=f(t) για τη ταλάντωση αν γνωρίζουμε ότι η απομάκρυνση μεταβάλλεται ημιτονικά με το χρόνο και δεν υπάρχει αρχική φάση

Γ) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης

Δ) Αν στην κατάσταση συντονισμού το πλάτος ταλάντωσης είναι 7cm να σχεδιάσετε τη καμπύλη συντονισμού για το σύστημα m–k. Να τοποθετήσετε στο διάγραμμα όλες τις χαρακτηριστικές τιμές που έχουν δοθεί άμεσα ή έμμεσα

Δίνεται π²=10

Απάντηση

Α) f₀=15Hz,  Β) x=4ημ40πt  (cm)    υ=1,6πσυν40πt   (m/s)  Γ) Ε_Τ=1,8J    Δ)

3) Σε μία εξαναγκασμένη ταλάντωση η επιτάχυνση του σώματος δίνεται από την εξίσωση α= - 20ημ(10t). Η δύναμη αντίστασης είναι  της μορφής F_αντ= - bυ, 

Δίνεται: f_δ=f_{συντονισμού}

Α) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος

Β) Να γράψετε την εξωτερική δύναμη σε συνάρτηση με το χρόνο

Γ) Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο η ενέργεια του συστήματος μετατρέπεται σε θερμότητα τη χρονική στιγμή t=81π/40s, και όταν το σώμα περνά από τη θέση x=0,1m.

Δ) Να υπολογίσετε την ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα ανά περίοδο για να διατηρείται το πλάτος σταθερό. 

Δίνεται: συν²Α=(1+συν2Α)/2  και  b=2Kg/s

Απάντηση

Α) υ=2συν(10t)  Β) F_εξ=4συν(10t) Γ) απόλυτος ρυθμός dQ/dt=4J/s, dQ/dt=6J/s Δ) W=0,8πJ

4) Αρμονικός ταλαντωτής με ελατήριο και σφαιρίδιο εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η απομάκρυνση του σφαιριδίου από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση x=0,2ημ(50t). Η δύναμη που αντιτίθεται στη κίνηση δίνεται από τη σχέση

F_αντ= - 10υ και  f=f_{συντονισμού}

Α) Να γράψετε τη δύναμη αντίστασης σε συνάρτηση με το χρόνο

Β) Να γράψετε την εξωτερική δύναμη σε συνάρτηση με το χρόνο

Γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σφαιριδίου τη χρονική στιγμή t=Τ/3 όπου Τ η περίοδος της εξωτερικής περιοδικής δύναμης

Δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό προσφοράς ενέργειας από το διεγέρτη στο αρμονικό ταλαντωτή τη χρονική στιγμή t=Τ/3

Απάντηση

Α) F_αντ= - 100συν(50t)   Β) F_εξ= 100συν(50t)  Γ) υ=-5m/s  Δ) P_εξ=250J/s

5) Αρμονικός ταλαντωτής με ελατήριο σταθεράς k=25N/m και σφαιρίδιο μάζας m=1Kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με το τροχό να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Το όλο σύστημα βρίσκεται σε γυάλινο δοχείο που περιέχει αέρα σε υψηλή πίεση και φέρει στο κάτω άκρο του βαλβίδα ασφαλείας. Το σώμα δέχεται από τον αέρα δύναμη απόσβεσης της μορφής F = - bυ Κάποια χρονική στιγμή, το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση x= - 0,3m από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς αυτήν με ταχύτητα υ=1,6m/s. Στη θέση αυτή δέχεται δύναμη F_δ=0,5Ν από το διεγέρτη και έχει επιτάχυνση α=4,8m/s². 

Α) πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης;

Β) να υπολογίσετε τη σταθερά της απόσβεσης b. 

Γ) Αν αυξήσουμε τη συχνότητα της περιστροφής του τροχού το πλάτος:

Θα αυξηθεί

Θα μειωθεί

Αρχικά θα αυξηθεί και μετά θα μειωθεί

Δ) Αν ανοίξουμε τη βαλβίδα ασφαλείας ώστε να εξέρχεται αργά-αργά αέρας από το δοχείο το πλάτος της ταλάντωσης:

Θα αυξηθεί

Θα μειωθεί

Δε θα μεταβληθεί

Να θεωρήσετε ως θετική φορά την προς τα άνω.

6) Ένας ταλαντωτής με μάζα m=4Kg σταθερά επαναφοράς D=1000Ν/m και σταθερά απόσβεσης b=0,4Kg/s εκτελεί εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση με συχνότητα ίση με τη συχνότητα της ελεύθερης  και αμείωτης ταλάντωσης του. Αν το πλάτος ταλάντωσης είναι Α=0,8m και η δύναμη της αντίστασης είναι της μορφής F_αντ = - bυ να γράψετε τη σχέση που δίνει την εξωτερική δύναμη σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.