Γ΄ Λυκείου - στερεό σώμα

Ένας φυσικός με την οικογένεια του, αποτελούμενη από την γυναίκα του και το μικρό αγοράκι τους, θέλει να αγοράσει ένα ρετιρέ σε μια νεοαναγειρόμενη οικοδομή. Προς αναζήτηση σπιτιού, πήγαν με το μεσίτη-μηχανικό στην οικοδομή, για να δουν το ρετιρέ. Στη βεράντα του ρετιρέ, ακόμη δεν έχουν τελειώσει οι εργασίες, υπάρχει μια δοκός μάζας Μ=30Kg και μήκους L=2m η οποία  μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο Ο της δοκού χωρίς τριβές. Το άλλο άκρο της δοκού είναι δεμένο στη μια άκρη αβαρούς και μη εκτακτού νήματος, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το μικρό αγοράκι ξεφεύγει από την επιτήρηση των γονιών του, και την χρονική στιγμή t₀=0 ανεβαίνει στη δοκό και αρχίζει να μπουσουλάει από το άκρο Ο της δοκού, με σταθερή ταχύτητα u=0,2m/s κινούμενο κατά μήκος της. Η μάζα του μικρού παιδιού είναι m=15Kg. Ο φυσικός μόλις το αντιλαμβάνεται, ζητά από τον μεσίτη-μηχανικό πληροφορίες για το όριο θραύσης του νήματος, χαρτί και μολύβι. Αφού μάθει ότι το όριο θραύσης του νήματος είναι Τ_θρ=300N, τους λέει να μην ανησυχούν, γιατί μέχρι το παιδί να φθάσει στην άκρη της δοκού, δεν κινδυνεύει να σπάσει το σχοινί.

α)Να εξετάσετε αν η απόφαση του φυσικού είναι σωστή ή όχι. Στην περίπτωση που είναι σωστή, να βρείτε τη συνάρτηση της τάσης του νήματος με το χρόνο μέχρι τη στιγμή που  το νήμα κόβεται, και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.

Ο φυσικός, εν τω μεταξύ, τρέχει και τοποθετεί ένα καρότσι δεμένο σε ένα ελατήριο ακριβώς κάτω από τη δοκό στη θέση που αυτή θα γίνει κατακόρυφη.

Μόλις  το παιδί φθάσει στο άλλο άκρο της δοκού Α, το νήμα κόβεται .                                     

Τη στιγμή που το παιδί φθάνει στην άκρη της δοκού, ο φυσικός φωνάζει στο παιδί να πιαστεί γερά με τη δοκό, έτσι ώστε να μην πέσει. Πράγματι, το παιδί πιάνεται καλά από το άκρο Α της δοκού, και μαζί με το δοκό αρχίζουν να περιστρέφονται γύρω από τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. Να βρείτε:

β)Τη ροπή αδράνειας του συστήματος παιδί –δοκός ως προς τον άξονα περιστροφής του συστήματος. Το παιδί θεωρείστε ότι βρίσκεται στη θέση Α.

γ)Τη στροφορμή του συστήματος παιδί-δοκού, τη στιγμή που το σύστημα διέρχεται από τη θέση όπου αποκτά την μικρότερη γωνιακή του επιτάχυνση.

Τη στιγμή που το σύστημα διέρχεται από αυτή τη θέση, ο φυσικός φωνάζει το παιδί να αφήσει τα χέρια του. Το παιδί αφήνει τη δοκό. Με την οριζόντια ταχύτητα που έχει αποκτήσει, προσγειώνεται πάνω στο καρότσι μάζας m₁=15Kg που είχε τοποθετήσει ο φυσικός στο λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς K=3000N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα δεμένο. Το ελατήριο βρίσκεται αρχικά στη θέση φυσικού του μήκους. Να βρείτε:

δ)Τις απώλειες της μηχανικής ενέργειας του συστήματος παιδί – καρότσι λόγω της κρούσης τους.  

ε)Σε πόσο χρόνο μηδενίζεται η ταχύτητα του συσσωματώματος παιδί-καρότσι για πρώτη φορά μετά την κρούση τους. Θεωρήσετε ότι το  σύστημα παιδί-καρότσι αρχίζει μετά την κρούση (χρονική στιγμή t=0) να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος.

στ)Το μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της ορμής του συστήματος.

ζ)Να υπολογίσετε τη μέγιστη γωνία φ που σχηματίζει η δοκός με την κατακόρυφο που διέρχεται από τον άξονα περιστροφής της, μετά την εγκατάλειψη του παιδιού.

Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της I=1/12ML².

Το παιδί θεωρείτε υλικό σημείο, οι αντιστάσεις του αέρα είναι αμελητέες και η χρονική διάρκεια της κρούσης ανάμεσα στο παιδί και το καρότσι είναι επίσης αμελητέα. Δίνεται ακόμη ότι g=10m/s².

Για να δείτε τη λύση πατήστε εδώ.