Ταλαντώσεις - Εξισώσεις Κίνησης

Ένας αθλητής καταδύσεων, με μάζα m=75Kg, στέκεται στο άκρο ενός  αβαρούς  βατήρα μήκους 6m εκτελώντας αρχικά ταλάντωση χωρίς να χάνει την επαφή του με το βατήρα. Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι k=4800Ν/m  και η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ δυο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης είναι 0,5m. Αν t=0 είναι η χρονική στιγμή που ο αθλητής βρίσκεται στο ανώτερο σημείο, να υπολογίσετε:

α) το πλάτος της ταλάντωσης

β) την ταχύτητα του κολυμβητή τη χρονική στιγμή t=3Τ/4, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης

γ) τη μέγιστη επιτάχυνση  που αποκτά ο αθλητής καθώς και τη θέση που την αποκτά

δ) την δύναμη που ασκείται στον αθλητή από την σανίδα, όταν αυτός βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς του. 

Κάποια χρονική στιγμή ο κολυμβητής αλλάζοντας την συχνότητα ταλάντωσης, εγκαταλείπει τον βατήρα, ο οποίος  βρίσκεται σε ύψος  3m από την επιφάνεια της πισίνας. Η τροχιά του αθλητή, είναι αυτή που ακολουθεί σώμα κάνοντας  πλάγια βολή. Ο κολυμβητής πρέπει να περάσει από ένα σωσίβιο που πλέει στη πισίνα σε απόσταση 5m από την άκρη της πισίνας, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένας θεατής, κρατά στο χέρι χρονόμετρο και μετρά το χρόνο που χρειάζεται ο κολυμβητής από τη στιγμή που απογειώνεται από το βατήρα μέχρι να περάσει από το σωσίβιο, και βρήκε ότι είναι 2,1 δευτερόλεπτα. Ζητείται να υπολογίσετε:

ε) τη γωνία και την ταχύτητα με την οποία εγκαταλείπει το βατήρα  ο κολυμβητής 

στ) τη γωνία και την ταχύτητα με την οποία θα φθάσει στο νερό

ζ) το μέγιστο ύψος από τη επιφάνεια της πισίνας  που θα φθάσει ο κολυμβητής

 

Για να δείτε τη λύση πατήστε εδώ.

Στερεό Σώμα Ροπή αδράνειας-Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης-Ενέργεια

Δίνεται συμπαγής, ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R. Αφήνουμε τον κύλινδρο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί:

Δ1. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται οριζόντιος.

Δ2. Από το εσωτερικό αυτού του κυλίνδρου, που έχει ύψος h, αφαιρούμε πλήρως ένα ομοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r, όπου r < R, όπως απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα:

Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου, ως προς τον άξονα του, που προκύπτει μετά την αφαίρεση του εσωτερικού κυλινδρικού τμήματος, είναι

Στη συνέχεια λιπαίνουμε το κυλινδρικό τμήμα που αφαιρέσαμε και το επανατοποθετούμε στη θέση του, ούτως ώστε να εφαρμόζει απόλυτα με τον κοίλο κύλινδρο χωρίς τριβές. Το νέο σύστημα που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), στο ίδιο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Δ3. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος.

Δ4. Όταν r =R/2, να υπολογίσετε, σε κάθε χρονική στιγμή της κύλισης στο κεκλιμένο επίπεδο, το λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του συστήματος.

Ο άξονας του συστήματος διατηρείται πάντα οριζόντιος.

Δίνονται : Η ροπή αδράνειας Ι συμπαγούς και ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ

και ακτίνας R, ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται: Ι =1/2 M R²

Ο όγκος V ενός συμπαγούς κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους h: V = π R² h

Πανελλαδικές εξετάσεις 2013